Andrew John Wiles

 Andrew John Wiles

Sir Andrew John Wiles KBE FRS (n. Cambridge, Inglaterra, 11 de abril de 1953) es un matemático británico. Alcanzó fama mundial en 1993 por exponer la demostración del último teorema de Fermat, que aunque en esa oportunidad resultó fallida, finalmente logró completarla correctamente en 1995.

Wiles pudo demostrar el Último teorema de Fermat a partir de la conexión, esbozada por Frey, y demostrada porKen Ribet en 1985, de que una demostración de la llamada Conjetura de Taniyama-Shimura conduciría directamente a una demostración del último teorema de Fermat. En resumen, la conjetura de Taniyama-Shimura establece que cada curva elíptica puede asociarse unívocamente con un objeto matemático denominado forma modular. Si el último teorema de Fermat fuese falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no puede asociarse con ninguna forma modular, y por lo tanto la conjetura de Taniyama-Shimura sería falsa. Por lo tanto, Taniyama-Shimura demuestra el último teorema de Fermat.

La demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura suponía ya de por sí un reto de suma importancia, ya que constituía uno de los puntos del llamado Programa Langlands, cuyo objetivo consiste en unificar áreas de las matemáticas que aparentemente no tienen relación entre sí. Wiles pasó los 8 años siguientes a la demostración de Ribet en completo aislamiento trabajando en el problema, lo cual es un modo de trabajo inusual en matemáticas, donde es habitual que matemáticos de todo el mundo compartan sus ideas a menudo. Para no levantar sospechas, Wiles fue publicando artículos periódicamente, como haría cualquier matemático de cualquier universidad del mundo.

En 1993, Wiles creyó que su demostración estaba cerrada:

Uno entra en la primera habitación de una mansión y está en la oscuridad. En una oscuridad completa. Vas tropezando y golpeando los muebles, pero poco a poco aprendes dónde está cada elemento del mobiliario. Al fin, tras seis meses más o menos, encuentras el interruptor de la luz y de repente todo está iluminado. Puedes ver exactamente dónde estás. Entonces vas a la siguiente habitación y te pasas otros seis meses en las tinieblas. Así, cada uno de estos progresos, aunque a veces son muy rápidos y se realizan en un solo día o dos, son la culminación de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los que el avance sería imposible.

Último teorema de Fermat establece que no existe solución con números enteros no nulos (ni x=0, ni y=0, ni z=0) para la ecuación: xn + yn = zn si n es un entero más grande que dos.

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Asociación entre Fermat y Taniyama

Si p es un primo mayor que 2 y a, b y c son enteros positivos tales que ap+bp=cpentonces la ecuación correspondiente y² = x(x - ap)(x + bp) define una curva elíptica hipotética, llamada la curva de Frey, que debe existir si hay un contraejemplo al último teorema de Fermat. Siguiendo el trabajo deYves Hellegouarch, quien fue el primero en considerar esta curva, Frey señaló que si tal curva existiese tendría propiedades peculiares, y sugirió en particular que aquella curva no sería una curva modular.

Aprovechó una serie de conferencias en el Instituto Isaac Newton, de la Universidad de Cambridge, para realizar su anuncio. El título de sus conferencias fue deliberadamente poco específico. Al cabo del primero de los tres días que duró las conferencias, se comenzó a expandir el rumor de que Wiles iba a demostrar el último teorema de Fermat, lo cual provocó que su última conferencia estuviera abarrotada de gente. Al final de esta conferencia, Wiles pronunció: "[...] y esto demuestra el último teorema de Fermat. Creo que lo dejaré aquí". Lo siguiente fue una estruendosa ovación.

Sin embargo, Wiles no quiso exponer su artículo al escrutinio detallado de toda la comunidad matemática hasta que hubiera sido revisado por un pequeño grupo de matemáticos, a cada uno de los cuales fue encargado revisar una parte del manuscrito original de más de 100 páginas. Dicho escrutinio reveló un error fatal, que Wiles no pudo solucionar de inmediato. Tras dos años de trabajo intenso y la ayuda de su ex doctorando Richard Taylor, Wiles publicó en Annals of mathematics el artículo definitivo (Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551.), junto con otro artículo escrito en colaboración con Taylor en el cual detallaba las técnicas que permiten resolver el fallo de la primera demostración.

Dado que Wiles utilizó más de 100 páginas y modernas técnicas matemáticas, es en la práctica imposible que esta demostración sea la misma que insinuó Fermat. (Fermat poseía un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto en cuyos márgenes anotaba las reflexiones que le iban surgiendo. En uno de estos márgenes enunció el teorema y escribió Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet, cuya traducción es Poseo una demostración en verdad maravillosa para este hecho, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla). Fermat llegó a demostrar el caso  mediante el método de descenso infinito; es probable que se haya engañado al creer que tenía una prueba para el caso general. Puede ser incluso que se haya percatado de su error ulteriormente: sus notas marginales eran de uso personal, y por lo tanto Fermat no hubiera tenido que desdecirse con sus correspondientes.

Paul Erdős

Paul Erdős

Paul Erdős, nacido Pál Erdős (IPA: ˈɛrdøːʃ) (26 de marzo de 1913 – 20 de septiembre de 1996), fue un matemático húngaro inmensamente prolífico y famoso por su excentricidad que, con cientos de colaboradores, trabajó en problemas sobre combinatoria, teoría de grafos, teoría de números, análisis clásico, teoría de aproximación, teoría de conjuntos y probabilidad.
Debido a sus numerosos aportes, colaboradores y amigos inventaron el número de Erdős como un homenaje con tintes de humor matemático: Erdős tiene asignado el número 0, todos aquellos que colaboraron en algún artículo con él tienen el 1, alguien que haya colaborado con alguno de sus colaboradores tiene el 2, y así sucesivamente.... Sencillas estimaciones comprueban que el 90% de los matemáticos activos tienen un número de Erdős menor que 8 (parece sorprendente si uno no conoce la teoría de Seis grados de separación). Para más detalles sobre el número de Erdős, vea Extended Erdős Number Project (en inglés).

Sofia Vasílievna Kovalévskaya

Sofia Vasílievna Kovalévskaya

Sofia Vasílievna Kovalévskaya (en ruso: Софья Васильевна Ковалевская). (Moscú, 15 de enero de 1850-Estocolmo, 10 de febrero de 1891), fue la primera matemática rusa de importancia y la primera mujer que consiguió una plaza de profesora universitaria en Europa (Suecia, 1881). Nacida y criada en el seno de una familia gitana rusa de buena formación académica. Sofía, era una también descendiente de Matías Corvino, rey de Hungría. Su abuelo, por casarse con una gitana y estar emparentado con dicha etnia, perdió el título hereditario de príncipe. Su nombre en ocasiones se translitera como Sophie, Sonya, Sonja o Sonia. Su apellido Kovalévskaya significa «la mujer de Kovalevski».Sofia Kovalévskaya muere a los cuarenta y un años, de gripe. Entre sus trabajos figuran: Sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales, que aparece en el Journal de Crelle, y Sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo, por el cual obtiene un importante premio otorgado por la Academia de Ciencias deParís, en 1888.

Felix Christian Klein

Felix Christian Klein

Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 de abril de 1849 - Gotinga 22 de junio de 1925) fue un matemático alemán que demostró que las geometrías métricas, euclidianas o no euclidianas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva. En 1872, presentó una notable clasificación de la geometría, el "programa de Erlangen", que puso fin a la escisión entre geometría puray geometría analítica. En esta clasificación el concepto de grupo desempeña un papel fundamental, ya que el objeto de cada geometría se convierte en el estudio del grupo de transformaciones que la caracteriza.

Al igual que Bernhard Riemann, Klein consideraba la teoría de funciones de variable compleja como una teoría geométrica y traspasó directamente el concepto a la física. Su estudio de las funciones modulares sigue siendo esencial para los investigadores.

Profesor de la Universidad de Gotinga (1886), fue el fundador de la "Gran Enciclopedia de las matemáticas" (1895) y uno de los abogados y artífices de la renovación de la enseñanza de las matemáticas en los estudios secundarios. Klein fue además un importante organizador de grupos científicos y de actividades docentes en equipo. Se le considera como uno de los principales contribuyentes a que Gotinga se transformara en un importante centro para el desarrollo de la matemática en Europa.

Lleva su nombre la célebre botella de Klein, superficie con una sola cara.

Bernard Placidus

Bernard Placidus

Bernard Placidus Johann Gonzal Nepomuk Bolzano (Praga, Bohemia (actual República Checa), 5 de octubrede 1781 – ídem, 18 de diciembre de 1848), conocido como Bernard Bolzano fue un matemático, lógico, filósofoy teólogo bohemio que escribió en alemán y que realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a la Teoría del conocimiento. Ha sido reconocido como el Rafael Alberti de la filosofía y las matemáticas.´^{[cita requerida]}

En matemáticas, se le conoce por el teorema de Bolzano, así como por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que esbozó como lema de otro trabajo en 1817, y décadas después habría de desarrollar Karl Weierstrass¹

En su filosofía, Bolzano criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas, y las verdades existen de modo independiente a las personas que los piensen.

En 1796 Bolzano se inscribió en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Durante sus estudios escribió: "Mi especial predilección por las Matemáticas se basa de modo particular en sus aspectos especulativos, en otras palabras, aprecio mucho la parte de las Matemáticas que es al mismo tiempo Filosofia." En otoño de 1800 empezó a estudiar Teología. Se dedicó a ello los siguientes tres años, durante los que también preparó su tesis doctoral en Geometría. Consiguó el doctorado en 1804, tras haber redactado una tesis en la que expresaba su opinión sobre las Matemáticas y sobre las características de una correcta demostración matemática. En el prólogo escribió: "No podría sentirme satisfecho por una demostración estrictamente rigurosa, si ésta no derivase de los conceptos contenidos en la tesis que debe demostrarse."

Dos años después de ser nombrado doctor, Bolzano se ordenó como sacerdote católico romano. Sin embargo, su auténtica vocación era la docencia, y en 1804 obtuvo la cátedra de Filosofía y Religión en la Universidad de Praga. En relación con esta cátedra hay que señalar que en aquella época, por la expansión del entusiasmo suscitado por la Revolución francesa se habían desarrollado los primeros movimientos políticos que reivindicaban la libertad de pensamiento y la independencia de las comunidades nacionales. Estas reivindicaciones preocupaban mucho a los estados autoritarios, y en especial al Imperio austríaco, en cuyos límites se integraban numerosos grupos étnicos muy distintos entre los que iban naciendo movimientos nacionalistas. Para contrarrestar estos movimientos, el Imperio austríaco, de acuerdo con la Iglesia católica, que estaba claramente alineada en posiciones conservadoras frente a las procedentes de la revolución francesa, llevaba a cabo una serie de iniciativas. Entre estas estaba la de instituir una cátedra de Filosofía de la Religión en cada Universidad, que se erigiera como baluarte contra la libertad de pensamiento y contra las posiciones nacionalistas.

Sin embargo, la designación de Bolzano para ocupar dicha cátedra en la Universidad de Praga no tuvo el éxito que las autoridades esperaban. Sus enseñanzas estaban impregnadas por fuertes ideales pacifistas y por una viva exigencia de justicia política. Además, Bolzano gozaba, debido a sus cualidades intelectuales, de un enorme prestigio entre sus colegas profesores y entre los estudiantes. Tras algunas presiones del gobierno austríaco, en 1819 Bolzano fue destituido de su cátedra. Debido a su personalidad, no aceptó este cese sin manifestar su desacuerdo, con lo que se le suspendió, bajo una acusación de herejía, puesto bajo arresto domiciliario y se le prohibió publicar. A pesar de la censura del gobierno, sus libros se publicaron fuera del Imperio austríaco y Bolzano siguió escribiendo y ocupando un importante papel dentro de la vida intelectual de su país.

Bolzano escribió en 1810 Beiträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung, la primera de una serie programada de escritos sobre fundamentos de las matemáticas. En la segunda parte encontramos Der binomische Lehrsatzl... de 1816 y Rein analytischer Beweis... (Pura demostración matemática) de 1817, que contienen un intento de impostación del cálculo infinitesimal que no recurre al concepto de infinitesimal. En el prólogo del primero de ambos declara que su trabajo es un ejemplo del nuevo modo de desarrollar el análisis. A pesar de que Bolzano consiguió demostrar exactamente todo lo que declaraba, sus teorías sólo se entendieron después de su muerte. En el trabajo de 1817 Bolzano entendía que liberaba los conceptos de límite, convergencia y derivada de nociones geométricas, sustituyéndolas por conceptos puramente aritméticos y numéricos. Bolzano era consciente de la existencia de un problema más profundo: era necesario refinar y enriquecer el propio concepto de número. En este trabajo hay que situar la demostración del teorema del valor intermedio con la nueva aproximación de Bolzano, y la que también fue llamada serie de Cauchy. Este concepto aparece en un trabajo de Cauchy, aparecido cuatro años después, aunque resulta poco probable que el matemático francés conociera los trabajos de Bolzano.

Después de 1817, Bolzano estuvo muchos años sin publicar nada relacionado con las matemáticas. Sin embargo, en 1837, publicó Wissenschaftslehre, un intento de elaborar una teoría del conocimiento y de la ciencia completa. Bolzano intentó proporcionar fundamentos lógicos a todas las ciencias, construidas partiendo de abstracciones, de objetos abstractos, de atributos, de construcciones de demostraciones, vínculos... La mayor parte de esos intentos retoman esos trabajos anteriores que afectan a la relación objetiva entre las consecuencias lógicas (las cosas tal como se producen) y nuestra percepción puramente subjetiva de dichas consecuencias (nuestro modo de abordar los hechos). Aquí se acerca a la filosofía de las matemáticas. Para Bolzano, no tenemos ninguna certeza en cuanto a las verdades, o a las supuestas como tales, de la naturaleza o de las matemáticas, y precisamente el papel de las ciencias, tanto puras como aplicadas es hallar una justificación de las verdades (o de las leyes) fundamentales, que con frecuencia contradicen nuestras intuiciones. Muchos estudiosos, entre los que se encuentra Edmund Husserl, consideran este texto la primera obra importante sobre lógica y problemas de conocimiento tras la de Leibnitz.

Entre 1830 y 1840, Bolzano trabajó en una obra mayor, Grössenlehre en la que tratará de reinterpretar toda la matemática bajo bases lógicas. Sólo llegó a publicar una parte, esperando que sus alumnos prosiguieran su obra y publicaran una versión completa. En 1854, tres años después de su muerte, un alumno suyo publicó la obra de Bolzano Paradoxien des Unendlichen, un estudio sobre las paradojas del infinito. Aparece por primera vez el término "conjunto", en la forma alemanaMenge. En este trabajo Bolzano aporta ejemplos de correspondencia biunívoca entre los elementos de un conjunto infinito e incluso de un subconjunto.

La mayor parte de los trabajos de Bolzano permaneció en forma de manuscrito, por lo que tuvo una circulación muy reducida y una escasa influencia en el desarrollo de la materia. Muchas de sus obras no se publicaron hasta 1862 e incluso después. Las teorías de Bolzano sobre el infinito matemático anticiparon las de Georg Cantor sobre conjuntos infinitos.

Nikolái Ivánovich

Nikolái Ivánovich

Nichkolái Ivánovich Lobachevski (en caracteres cirílicos: Никола́й Ива́нович Лобаче́вский) (1 de diciembre de1792 - 24 de febrero de 1856) fue un matemático ruso del siglo XIX.

Entre sus principales logros se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con el cálculo tensorialaplicados a vectores en el espacio de Hilbert.

Fue uno de los primeros matemáticos que aplicó un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de lageometría euclidiana.

Nació en Nizhni Nóvgorod y estudió en la Universidad de Kazán. Enseñó en Kazán desde 1812 hasta 1846, y llegó a ser profesor de matemáticas en 1823. La Universidad Estatal de Nizhni Nóvgorod incluyó en su denominación el nombre de Lobachevski en su honor.

Con independencia del húngaro János Bolyai y del alemán Carl Friedrich Gauss, Lobachevski descubrió un sistema de geometría no euclidiana. Antes de Lobachesvski, los matemáticos intentaban deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros axiomas; sin embargo, Lobachevsky se dedicó a desarrollar una geometría en la cual el quinto postulado puede no ser cierto o, mejor dicho, no ser válido. Para esto, entre otras cuestiones propuso un sistema geométrico basado en la hipótesis del ángulo agudo, según la cual, en un plano, por un punto fijo pasan al menos 2 paralelas a una recta -en realidad tal solución da noción de la existencia de triángulos curvos.Entre sus obras destacan Sobre los principios de la geometría (1829) y Geometría imaginaria (1835).Murió en Kazán en 1856.

Sophie Germain

Sophie Germain

Marie-Sophie Germain (1 de abril de 1776 - 27 de junio de 1831) fue una matemática francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la elasticidad. Uno de los más importantes fue el estudio de los que posteriormente fueron nombrados como números primos de Sophie Germain (números primos cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo). Matemática, física y filósofa. A pesar de la oposición de sus padres y las dificultades presentadas por una sociedad sexista, ganó su educación de libros extraídos de la biblioteca de su padre y de correspondecia con famosos matemáticos como Lagrange, Legendre y Gauss. Debido al prejuicio contra su sexo, no pudo establecer una carrera en matemáticas, por lo que trabajó independientemente a lo largo de su vida.

Contribuciones

Una de las mayores contribuciones de Germain a la teoría de números fue la demostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x⁵ + y⁵ =z⁵, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. Esta demostración, que fue descrita por primera vez en una carta a Gauss, tenía una importancia significativa ya que restringía de forma considerable las soluciones del último teorema de Fermat, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado por completo hasta 1995.

Una de sus más famosas identidades, más comúmente conocida como Identidad de Sophie Germain expresa para dos números x e y que:

Johannes Kepler

Johannes Kepler

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de noviembre de1630), figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; fundamentalmente conocido por susleyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.

En 1935 la UAI decidió en su honor llamarle «Kepler» a un astroblema lunar.

Las tres Leyes de Kepler

Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando. Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que no podía saltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.

Había descubierto la primera ley de Kepler:

• Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos que contiene la elipse.

Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos se anteponían a los deseos y los prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler se dedicó simplemente a observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna idea preconcebida. Pasó a comprobar la velocidad del planeta a través de las órbitas llegando a la segunda ley:

• Las áreas barridas por los radios de los planetas son proporcionales al tiempo empleado por estos en recorrer el perímetro de dichas áreas.

Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de planetas. Aun así fue un logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas entre sí. Tras varios años, descubrió la tercera e importantísima ley del movimiento planetario:

• El cuadrado de los períodos de la órbita de los planetas es proporcional al cubo de la distancia promedio al Sol.

Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las otras leyes permitía ya unificar, predecir y comprender todos los movimientos de los astros.

Luca Pacioli

Luca Pacioli

Luca Pacioli, de nombre completo Fray Luca Bartolomeo de Pacioli o Luca di Borgo San Sepolcro, cuyo apellido también aparece escrito como Paccioli y Paciolo (Sansepolcro, 1445 - Roma, 1517), fue un fraile franciscano y matemático italiano, precursor del cálculo de probabilidades.

Analizó sistemáticamente el método contable de la partida doble usado por los comerciantes venecianos en su obra Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita (Venecia, 1494), que a pesar de su título latino, incluye la primera obra matemática impresa en lengua romance. Es destacable que en la solución de uno de los problemas, utilizara una aproximación logarítmica, un siglo antes que John Napier.

Su obra más divulgada e influyente es De Divina Proportione (De la Divina Proporción) término relativo a la razón o proporción ligada al denominado número áureo, escrita en Milán entre 1496 y 1498, y que trata también, en su primera parte, de los polígonos y la perspectiva usada por los pintores del Quattrocento (Compendio Divina Proportione); en su segunda, de las ideas arquitectónicas de Vitruvio (Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita precipitevolissimevolmente ); y en su tercera, de los sólidos platónicos o regulares (De quinque corporibus regularibus). Para ilustrarlo encargó dibujos a Leonardo da Vinci, que en la época formaba parte de la corte milanesa de Ludovico Sforza (il Moro).

Entre 1477 y 1480 enseñó en la Universidad de Perugia, escribiendo a tal efecto el Tractatus mathematicus ad discipulos perusinos. Entre otras obras, escribió también De viribus quantitatis, sobre matemáticas y magia (1496–1508), una traducción de los Elementos de Euclides (Geometria, Venecia, 1509) y un manual de ajedrez (De ludo scacchorum).

Piero della Francesca

Piero della Francesca 

Piero della Francesca (Piero di Benedetto dei Franceschi; llamado también Pietro Borghese, Borgo del Santo Sepolcro, en el valle alto del Tíber, cerca de Arezzo, h. 1415¹ – Borgo del Santo Sepolcro, 12 de octubre de1492) fue un pintor italiano del Quattrocento (siglo XV). Actualmente se le aprecia sobre todo como pintor especialista en frescos, pero en su época fue conocido también como un geómetra y matemático, maestro de laperspectiva y de la geometría euclidiana, temas en los que se concentró a partir del año 1470. Su pintura se caracterizó por su sereno Humanismo y el uso de las formas geométricas, particularmente en relación con laperspectiva y la luz. Es uno de los principales y fundamentales personajes del Renacimiento, aunque jamás trabajó para los Médicis y pasó poco tiempo en Florencia.

Se conocen tres textos muy importantes escritos por Piero, de los más científicos del siglo XV: el De prospectiva pingendi(«Sobre la perspectiva para la pintura»), Libellus de quinque corporibus regularibus («Librito de los cinco sólidos regulares») y un manual de cálculo titulado Trattato dell’abaco («Tratado del ábaco»).

Los temas tratados en estos escritos incluyen aritmética, álgebra, geometría y obras innovadoras tanto en geometría de los sólidos como perspectiva. En ellos se pone de manifiesto su contacto con Alberti. En estas tres obras matemáticas está presente una síntesis entre la geometría euclidiana, perteneciente a la escuela de los eruditos, y matemática con el ábaco, reservada a los técnicos.⁹

La primera obra fue el Libellus de quinque corporibus regularibus, un tratado dedicado a la geometría, que retomó temas antiguos de tradición platónico-pitagórica, estudiados siempre con la intención de que se puedan utilizar como elementos de diseño. Se inspira en las lecciones euclidianas para el orden lógico de las expresiones, para las referencias y el uso coordinado y complejo de los teoremas, mientras que se aproxima a las exigencias de los técnicos por la predictibilidad de las figuras tratadas, sólidas y poliédricas, y por la ausencia de demostraciones clásicas y por el uso de reglas aritméticas y algebraicasaplicadas a los cálculos.⁹ En el texto, en particular, por vez primera se dibujan los poliedros regulares y semiregulares, estudiando las relaciones que existen entre los cinco regulares.

En el segundo tratado, De prospectiva pingendi siguió en la misma línea de estudio, pero con notables novedades, hasta el punto de que se puede definir a Piero como uno de los padres del moderno dibujo técnico; de hecho, prefería la axonometría a la perspectiva, por considerarla más congruente con un modelo geométrico. Entre los problemas resueltos destaca el cálculo del volumen de la bóveda y la elaboración arquitectónica de las construcciones de las cúpulas.

El Trattato d'abaco, sobre matemática aplicada (cálculo) fue escrito quizá ya en el año 1450, treinta años antes que el Libellus. El título es de época moderna, porque el original carece de él. La parte geométrica y la algebraica resulta muy amplia en relación con las costumbres de su tiempo, así como la parte experimental sobre la que el autor ha explorado elementos no convencionales.⁹

Gran parte de la obra de Piero fue posteriormente incluido en obras de otros, especialmente Luca Pacioli, un monje que era discípulo de Piero y a quien Vasari acusa directamente de copiar y plagiar a su maestro. La obra de Piero sobre geometría sólida aparece en la obra de Pacioli De divina proportione (Divina Proporción), un trabajo ilustrado por Leonardo da Vinci.

Johann Müller Regiomontano

Johann Müller Regiomontano

Johann Müller Regiomontano (Nace el 6 de junio en Königsberg in Bayern (Franconia), 1436 - † 6 de julio en Roma,1476) fue un astrónomo y matemático alemán. Su nombre real es Johann Müller Königsberg y el apodo regiomontanoproviene de la traducción latina del nombre de la ciudad alemana donde nació: Königsberg (Montaña real o Montaña Regia). No obstante Regiomontano empleó en su vida numerosos nombres, por ejemplo en su inscripción en la Universidad aparece como Johannes Molitoris de Künigsperg en el que emplea Molitoris como versión latinizada de 'Müller'. Existen otras variantes que incluyen Johannes Germanus (Juan el Alemán), Johannes Francus (Juan de Franconia), Johann von Künigsperg (Juan de Königsberg), y finalmente con acento francés Joannes de Monte Regio. 

La obra escrita de Regiomontano se puede englobar en tratados de matemática, centrados en lo que hoy se denomina trigonometría (Se considera un fundador de esta parte de la matemática) y tratados sobre astronomía. Por otra parte describe, e inventa varios instrumentos útiles para la observación y la medida del tiempo (relojes Solares), todo este apartado lo divulga en una especie de panfletos impresos que fueron muy leídos durante su época.

De Triangulis Omnimodis

Regiomontanus estructuró su obra de una forma muy similar a los elementos de Euclides. De triangulis se compone de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas, y la función seno. Proporciona algunos axiomas que proporcionarán el sustento de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo mediante el conocimiento de dos lados y el ángulo que los sustenta. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para las posteriores obras de astronomía.

Tablas de Senos

En su estancia en Hungría, Regiomontanus calcula dos tablas de senos. La primera la realiza en 1467 y emplea una división sexagesimal de los ángulos, la otra escrita en Buda calcula los senos de un ángulo empleando una división decimal.

Otras Obras

En el terreno de la astronomía también publicó el trabajo "Epitome in Almagestum" (publicado tras su muerte en 1498). Se trata de un libro en el que expone el sistema de Ptolomeo.